Wat is juist: ‘De politie heeft een onderzoek gestart’ of ‘De politie is een onderzoek gestart’?

Het is allebei mogelijk.

In de zin ‘De politie is/heeft een onderzoek gestart’ staat een lijdend voorwerp: een onderzoek. Meestal is in zinnen met een lijdend voorwerp alleen hebben mogelijk als hulpwerkwoord van de voltooide tijd. Maar bij starten is ook het hulpwerkwoord zijn mogelijk. Meer voorbeelden:

De VPRO is/heeft een ledenwerfcampagne gestart. (een ledenwerfcampagne is lijdend voorwerp; is en heeft zijn allebei mogelijk)
We zijn/hebben een nieuwe opleiding gestart. (een nieuwe opleiding is lijdend voorwerp; is en heeft zijn allebei mogelijk)

Zonder lijdend voorwerp: zijn gestart

Starten is een werkwoord dat ook zonder lijdend voorwerp kan voorkomen. In dat geval wordt altijd het hulpwerkwoord zijn gebruikt bij het voltooid deelwoord:

De inschrijving is gestart. (de zin bevat geen lijdend voorwerp; alleen is is mogelijk)
De politie is gestart met het onderzoek. (de zin bevat geen lijdend voorwerp; met een onderzoek is voorzetselvoorwerp)

Begonnen zijn

Starten betekent ongeveer hetzelfde als beginnen. Dat werkwoord wordt tegenwoordig altijd met zijn gecombineerd in de voltooide tijd, ook als er een lijdend voorwerp in de zin staat:

De politie is een onderzoek begonnen. (een onderzoek is lijdend voorwerp; ‘De politie heeft een onderzoek begonnen’ is verouderd)
Ik ben een leesclub begonnen. (een leesclub is lijdend voorwerp; ‘Ik heb een leesclub begonnen’ is verouderd)
Ik ben aan mijn derde stuk taart begonnen. (de zin bevat geen lijdend voorwerp)
De wedstrijd is begonnen! (de zin bevat geen lijdend voorwerp)