Wat is juist: bezwijken aan of bezwijken onder verdriet?

Dat hangt van de betekenis af. Bezwijken aan betekent ‘sterven’, bezwijken onder is ‘niet meer bestand zijn tegen’, ‘kapotgaan aan’.

Bezwijken aan betekent ‘sterven’. Je zegt bijvoorbeeld dat iemand aan een hartaanval is bezweken.

Bezwijken onder (‘niet meer bestand zijn tegen’) betekent dat je als het ware instort onder een zware last. De last die je meezeult, kan zowel figuurlijk als letterlijk zijn: ‘Hij bezweek onder zijn verdriet/onder het gewicht van de wasmachine.’

Overigens zijn er nog twee voorzetsels te gebruiken bij bezwijken:

Hij bezweek voor haar lieve glimlach. (= ‘eraan toegeven, ervoor door de knieën gaan’)
De verhuizers bezweken bijna van vermoeidheid. (= ‘de vermoeidheid deed hen bijna bezwijken’)